Question

（2006•蘭州）如圖，已知P為∠AOB的邊OA上的一點，以P為頂點的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M、N兩點，且∠MPN=∠AOB=α（α為銳角）．當∠MPN以點P為旋轉中心，PM邊與PO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉（∠MPN保持不變）時，M、N兩點在射線OB上同時以不同的速度向右平行移動．設OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面積為S．若sinα=，OP=2．
（1）當∠MPN旋轉30°（即∠OPM=30°）時，求點N移動的距離；
（2）求證：△OPN∽△PMN；
（3）寫出y與x之間的關系式；
（4）試寫出S隨x變化的函數關系式，并確定S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當PM旋轉到PM′時，點N移動到點N′，點N移動的距離NN′=ON′-ON；
（2）已知兩三角形兩角對應相等，可利用AAA證相似
（3）可由（2）問的三角形相似得到y與x之間的函數關系式．
（4）根據圖形得出S的關系式，然后在圖形內根據x的取值范圍確定S的取值范圍．
解答：（1）解：∵sina=且a為銳角，
∴a=60°，即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）
∴初始狀態時，△PON為等邊三角形，
∴ON=OP=2，當PM旋轉到PM'時，點N移動到N'，
∵∠OPM'=30°，∠BOA=∠M'PN'=60°，
∴∠M'N'P=30°．（2分）
在Rt△OPM'中，ON'=2PO=2×2=4，
∴NN'=ON'-ON=4-2=2，
∴點N移動的距離為2；                          （3分）

（2）證明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；                             （4分）

（3）解：∵MN=ON-OM=y-x，
∴PN²=ON•MN=y（y-x）=y²-xy．
過P點作PD⊥OB，垂足為D．
在Rt△OPD中，
OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN²=PD²+DN²=（）²+（y-1）²=y²-2y+4．（5分）
∴y²-xy=y²-2y+4，
即y=；                                  （6分）

（4）解：在△OPM中，OM邊上的高PD為，
∴S=•OM•PD=•x•x．（8分）
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范圍是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函數，且比例系數，
∴0＜S＜×2，即0＜S＜．                （9分）
點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質、三角形相似、旋轉的特征、解直角三角形、函數等知識．難度很大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．