Question

△ABC中，AB=2，BC=4，CD⊥AB于D。
（1）如圖①，AE⊥BC于E，求證：CD=2AE；

（2）如圖②，P是AC上任意一點（P不與A、C重合），過P作PE⊥BC于E，PF?AB于F，求證：2PE+PF=CD；

（3）在（2）中，若P為AC的延長線上任意一點，其它條件不變，請你在備用圖中畫出圖形，并探究線段PE、PF、CD之間的數量關系。

Answer 1

（1）證明：S△ABC=AB·CD=BC·AE， ∵AB=2，BC=4， ∴×2×CD=×4×AE， 即CD=2AE； （2）證明：如圖②，連接PB， 則S△ABC=S△ABP+S△BCP， 即AB·CD=AB·PF+BC·PE， ∵AB=2，BC=4， ∴×2×CD=×2×PF+×4×PE， 即CD=PF+2PE， 故2PE+PF=CD； （3）解：如圖③，連接PB， 則S△ABP=S△ABC+S△PBC， 即AB·PF=AB·CD+BC·PE， ∵AB=2，BC=4， ∴×2×PF=×2×CD+×4×PE， 即PF=CD+2PE。