Question

【題目】如圖：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.

（1）求證：CF=EB．

（2）若AF=2,EB=1,求AB的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4

【解析】（1）由AD為角平分線，利用角平分線定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD與三角形BDF全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）利用AAS得到三角形ACD與三角形AED全等，利用全等三角形對應邊相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代換即可得證．

（1）證明：∵ AD是∠BAC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB

∴ DC=DE

∵ BD=DF

∴Rt△DCF≌Rt△DEB

∴CF=EB

（2）解：由（1）知CF=EB=1

∴AC=AF+FC=3

又∵Rt△ACD≌Rt△AED(HL或AAS)

∴AC=AE=3

∴AB=AE+EB=3+1=4

“點睛“此題考查了全等三角形的判定與性質，以及角平分線性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．