Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從點A開始沿x軸向點O以1cm/s的速度移動，點Q從點O開始沿y軸向點B以2cm/s的速度移動，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分別從A，O同時出發．
（1）設△POQ的面積等于y，運動時間為x，寫出y與x之間的函數關系，并求出面積的最大值；
（2）幾秒后△POQ與△AOB相似；
（3）幾秒后以PQ為直徑的圓與直線AB相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據P、Q的速度，用時間x表示出OP和OQ的長，根據三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式．根據函數的性質可求出y的最大值及對應的x的值．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，因此本題可分兩種情況討論：
①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；可根據各自對應的成比例線段求出x的值．
（3）設以PQ為直徑的圓與AB的切點為E，根據切割線定理可得出BE2=BQ•BO，同理AE²=AP•AO，可用x表示出BQ，AP的長．在直角三角形ABO中，（AE+BE）²=AB²，可聯立上述三個式子，可求出x的值．
解答：解：（1）y=（6-x）•2x=-x²+6x=-（x-3）²+9，y的最大值=9cm²．

（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ與△AOB相似，無非兩種情況：
或．
由，得x=3；
由，得x=．
即x=3s或x=s．

（3）x=s時以PQ為直徑的圓與AB相切．
設以PQ為直徑的圓與AB的切點為E；
∵BE²=BQ•BO=12（12-2x）
AE²=AP•AO=6x，又（AE+BE）²=OB²+OA²
∴（+）²=12²+6²，
解之，得x=s．
點評：考查二次函數的相關知識，考查學生基礎知識的同時還滲透分類思想及識圖能力．和應用二次函數的最值知識及三角形相似和直線與圓相切知識綜合解決問題．