Question

已知關于x的方程 mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求證：不論m為任何實數，此方程總有實數根；
（2）若拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，試確定此拋物線的解析式；
（3）若點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）在（2）中拋物線上 （點P、Q不重合），且y₁=y₂，求代數式的值．

Answer 1

解：（1）當m=0時，原方程化為x+3=0，此時方程有實數根 x=-3．
當m≠0時，原方程為一元二次方程．
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0．
∴此時方程有兩個實數根．
綜上，不論m為任何實數時，方程 mx²+（3m+1）x+3=0總有實數根．

（2）∵令y=0，則 mx²+（3m+1）x+3=0．
解得 x₁=-3，．
∵拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，
∴m=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3．

（3）∵點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）在拋物線上，
∴．
∵y₁=y₂，
∴．
可得 ．
即 n（2x₁+n+4）=0．
∵點P，Q不重合，
∴n≠0．
∴2x₁=-n-4．
∴=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+8=24．
分析：（1）分別討論當m=0和m≠0的兩種情況，分別對一元一次方程和一元二次方程的根進行判斷；
（2）令y=0，則 mx²+（3m+1）x+3=0，求出兩根，再根據拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸交于兩個不同的整數點，且m為正整數，求出m的值；
（3）點P（x₁，y₁）與Q（x₁+n，y₂）在拋物線上，求出y₁和y₂，y₁和y₂相等，求出 n（2x₁+n+4）=0，然后整體代入求出代數式的值．
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識，解答本題的關鍵熟練掌握方程與函數之間的聯系，此題難度不大，第三問需要整體代入．