Question

如下圖，在直角坐標系中，已知點M₀的坐標為(1，0)，將線段OM₀繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到線段OM₁；又將線段OM₁繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到線段OM₂，如此下去，得到線段OM₃，OM₄，……，OM_n．

(1)寫出點M₅的坐標；

(2)求△M₅OM₆的周長；

(3)我們規定：把點M_n(x_n，y_n)(n＝0，1，2，3……的橫坐標x_n，縱坐標y_n都取絕對值后得到的新坐標(|x_n|，|y_n|)稱之為點M_n的“絕對坐標”．根據圖中點M_n的分布規律，請你猜想點M_n的“絕對坐標”，并寫出來．

Answer 1

答案：
解析：

(1)M5(―4，―4)　　4分 　　(2)由規律可知，，，　　6分 　　∴的周長是　　8分 　　(3)解法一：由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐”的橫、縱坐標均為非負數，因此，點的“絕對坐標”可分三類情況： 　　令旋轉次數為 　　當點M在x軸上時：M0()，M4()，M8()，M12()， 　　即：點的“絕對坐標”為()．　　9分 　　當點M在y軸上時：M2，M6，M10，M14，即：點的“絕對坐標”為．　　10分 　　當點M在各象限的分角線上時：M1，M3， 　　M5，M7，即：的“絕對坐標”為．12分 　　解法二：由題意知，旋轉8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或軸或軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況： 　�、佼�時(其中＝0，1，2，3，…)，點在軸上，則()　　9分 　　②當時(其中＝1，2，3，…)，點在軸上，點()　　10分 　　＝1，2，3，…，時，點在各象限的分角線上，則點()　　12分