Question

圖①中是一座鋼管混凝土系桿拱橋，橋的拱肋ACB可視為拋物線的一部分（如圖②），橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測(cè)得拱肋的跨度AB為200米，與AB中點(diǎn)O相距20米處有一高度為48米的系桿．
（1）求正中間系桿OC的長(zhǎng)度；
（2）若相鄰系桿之間的間距均為5米（不考慮系桿的粗細(xì)），則是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=ax²+c，根據(jù)題意知道其上兩點(diǎn)，求出a，c；
（2）設(shè)存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半，即為25米，解得x，然后再作討論．

解答：解：（1）∵AB=200，與AB中點(diǎn)O相距20米處有一高度為48米的系桿，
∴由題意可知：B（100，0），M（20，48），
設(shè)與該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=ax²+c，
則：

10000a+c=0 400a+c=48

，
解得：

a=- 1 200 c=50

，
∴y=-

1

200

x²+50；
∴正中間系桿OC的長(zhǎng)度為50m；

（2）設(shè)存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半，即為25米，則
25=-

1

200

x²+50；
解得 x=±50

2

，
∵相鄰系桿之間的間距均為5米，
∴每根系桿上點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，x=±50

2

與實(shí)際不符，
∴不存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題建立坐標(biāo)系得出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．