Question

已知：如圖，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足為點E，點F為AC的中點．
（1）求證：∠AFB=90°；
（2）求證：△ADC≌△AEC；
（3）連接DE，試判斷DE與BF的位置關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）由BA=BC，F是AC的中點，根據等腰三角形的三線合一，可得BF⊥AC，即可證得∠AFB=90°；
（2）易證DC∥AB，又由BA=BC，根據等邊對等角，證得∠ECA=∠CAB，即可根據AAS證得△ADC≌△AEC；
（3）首先設DE交AC于點H，由△ADC≌△AEC，即可得AD=AE，∠DAH=∠EAH，根據等腰三角形的三線合一，則可證得BH⊥DE，則可得∠AFB=∠AHE，又由同位角相等，兩直線平行，證得DE∥BF．

解答：（1）證明：∵BA=BC，F是AC的中點（已知），
∴BF⊥AC（等腰三角形的三線合一）．（1分）
∴∠AFB=90°（垂直的定義）．（1分）

（2）證明：∵AE⊥BC（已知），
∴∠AEC=90°（垂直的定義）．
∵∠ADC=90°（已知），
∴∠ADC=∠AEC（等量代換）．（1分）
∵DC∥AB（已知），
∴∠DCA=∠CAB（兩直線平行，內錯角相等）．
∵BA=BC（已知），
∴∠ECA=∠CAB（等邊對等角）．
∴∠DCA=∠ECA（等量代換）．（1分）
在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC(已證) ∠DCA=∠ECA(已證) AC=AC(公共邊)

∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）

（3）DE與BF平行．（1分）
證明：設DE交AC于點H，
∵△ADC≌△AEC（已證），
∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形對應邊相等、對應角相等）．（1分）
∴BH⊥DE（等腰三角形的三線合一）．（1分）
∴∠AHE=90°（垂直的定義）
∵∠AFB=90°（已證），
∴∠AFB=∠AHE（等量代換）．（1分）
∴DE∥BF（同位角相等，兩直線平行）．

點評：此題考查了等腰三角形的性質，平行線的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．