Question

28、已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分線AD、BE交于點P．
（1）當△ABC為等邊三角形（如圖1）時，求證：EP=DP；
（2）當△ABC不是等邊三角形，但∠ACB=60°（如圖2）時，（2）中的結論是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等邊三角形的性質可以得到相等的線段和相等的角，進而可以證明EP=DP；
（2）上題的結論仍然成立，并且具有類似的證明方法．

解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，AD平分∠CAB，∴PD⊥BC，（1分）
同理，PE⊥AC，
作PH⊥AB于H，（1分）
∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，∴PE=PH（1分）
同理PD=PH
∴PD=PE（1分）

（2）EP=DP依然成立．（1分）
證明：不妨設∠CAB＜∠CBA
作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，
則點H在線段CE上，點M在線段BD上
∵∠CAB和∠ACB的平分線AD、BE交于點P，∴PH=PQ=PM，（1分）
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°，（1分）
∵AD、BE分別平分∠CAB、∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=60°，（1分）
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60⁰，
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60⁰，
∴∠CEP=∠ADB，（1分）
在△PHE和△PMD中，∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM，
∴△PHE≌△PMD，（1分）
∴PE=PD
（不同方法請相應給分）

點評：本題考查了等邊三角形的性質，解題的關鍵是正確的利用等邊三角形的性質．