Question

如圖，Rt△ACD中，∠ACD=90°．以AC邊為直徑作⊙O，交AD于E．過E作⊙O的切線EB，交CD于B．連接EC、AB，交于F點．
（1）求證：；
（2）若，求tan∠ABC的值．

Answer 1

（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴CB是⊙O的切線，
又EB是⊙O的切線，
∴BC=BE，
∴∠BEC=∠BCE，
可得∠DEB=∠D．
∴BE=BD，
∴BE=CD；

（2）解：連接OB，交EC于G．
可得OB⊥EC，EG=CG．
∴AE∥BG．
∵，可得EF=FG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，得BG=AE，
設BG=AE=2x，
∴OG=x．
∵CG⊥OB，∠OCB=90°，
可得OC=x，BC=x．
在Rt△ACB中，∵AC=2OC=2x，BC=x．
∴tan∠ABC=．
分析：（1）根據圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角為直角可得∠AEC=90°，再根據切線的判定可證明CB為圓的切線，再根據切線長定理即可證明BE=CD；
（2）連接OB，交EC于G，設BG=AE=2x，利用條件證明AE∥BG，進而證明△AEF∽△BGF，利用相似三角形的性質和直角三角形的性質即可求出tan∠ABC的值．
點評：本題綜合性的考查了圓周角定理，切線的判定和性質切線長定理以及等腰三角形的判斷和性質和相似三角形的判斷和性質以及銳角三角函數，題目的難度不小．