Question

（2009•肇慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE．
（1）求證：∠CBE=36°；
（2）求證：AE²=AC•EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由線段垂直平分線的性質可得EA=EB，進而可求出∠ABC=∠C，易求解．
（2）先由（1）的結論可證得△ABC∽△BEC，根據比例即可證明．
解答：證明：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．（1分）
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．（2分）
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°．（3分）

（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．（4分）
在△ABC與△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．（6分）
∴，
即BC²=AC•EC．（7分）
故AE²=AC•EC．（8分）
點評：本題主要考查的是線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定以及等腰三角形的性質．關鍵是證明BC=BE=AE．