Question

一元二次方程一般形式：ax²+bx+c=0，（a≠0）兩根記為x₁，x₂滿足x₁₊x₂=-，x₁x₂₌，試用上述知識解決問題：設x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的兩個實數根，求：
①x₁+x₁x₂+x₂
②+　　　　
③3x₁²-3x₁+x₂²．

Answer 1

解：∵x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=-，2x₁²-3x₁=1，
①x₁+x₁x₂+x₂=（x₁+x₂）+x₁x₂=-=1；
②+===-3；
③3x₁²-3x₁+x₂²=2x₁²-3x₁+x₁²+x₂²=1+（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1+-（-1）=4．
分析：由x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的兩個實數根，利用根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積，并將x=x₁代入得到一個關系式，
①將所求式子第1、3項結合，把得出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；
②將所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，把得出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值；
③將所求式子第1項拆項后整體代換，并利用完全平方公式變形，把得出的兩根之和與兩根之積代入即可求出值．
點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），若方程有解時，設方程的兩解分別為x₁、x₂，則有x₁+x₂=-，x₁x₂=．