Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動．

（1）直接寫出拋物線的解析式： ；

（2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式；當t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？

（3）當△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8；（2）當t=5時，S最大=；（3）當△CED的面積最大時，在拋物線上存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點P的坐標為：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8；

（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出點E的坐標為（﹣2，0），進而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式為：S=﹣t2+5t，然后轉化為頂點式即可求出最值為：S最大=；

（3）由（2）知：當t=5時，S最大=，進而可知：當t=5時，OC=5，OD=3，進而可得CD=，從而確定C（0，5），D（3，0）然后根據待定系數法求出直線CD的解析式為：y=﹣x+5，然后過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯立方程組解得即可得到其中的一個點P的坐標，然后利用面積法求出點E到CD的距離為：，然后過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，然后求出N的坐標，然后過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯立方程組求解即可得到其中的另兩個點P的坐標．

解：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8，

故答案為：y=﹣x2+3x+8；

（2）∵點A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x18，x2=2，

∵點E在x軸的負半軸上，

∴點E（﹣2，0），

∴OE=2，

根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=DEOC=（10﹣t）t=﹣t2+5t，

即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，

∴當t=5時，S最大=；

（3）由（2）知：當t=5時，S最大=，

∴當t=5時，OC=5，OD=3，

∴C（0，5），D（3，0），

由勾股定理得：CD=，

設直線CD的解析式為：y=kx+b，

將C（0，5），D（3，0），代入上式得：

k=﹣，b=5，

∴直線CD的解析式為：y=﹣x+5，

過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，如圖1，

設直線EF的解析式為：y=﹣x+b，

將E（﹣2，0）代入得：b=﹣，

∴直線EF的解析式為：y=﹣x﹣，

將y=﹣x﹣，與y=﹣x2+3x+8聯立成方程組得：

，

解得：，，

∴P（，﹣）；

過點E作EG⊥CD，垂足為G，

∵當t=5時，S△ECD==，

∴EG=，

過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，過點N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，

可得△EGD∽△DMN，

∴，

即：，

解得：DM=，

∴OM=，

由勾股定理得：MN==，

∴N（，），

過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，如圖2，

設直線NH的解析式為：y=﹣x+b，

將N（，），代入上式得：b=，

∴直線NH的解析式為：y=﹣x+，

將y=﹣x+，與y=﹣x2+3x+8聯立成方程組得：

，

解得：，，

∴P（8，0）或P（，），

綜上所述：當△CED的面積最大時，在拋物線上存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點P的坐標為：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．