Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點為M（2，－1），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）.

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設經過點C的直線與該拋物線的另一個交點為D，且直線CD和直線CA關于直線BC對稱，求直線CD的解析式；
（3）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足PM²＋PB²＋PC²＝35，求點P的坐標.

Answer 1

（1）；（2）；（3）P（2，－2）或（2，）

解析試題分析：（1）根據拋物線頂點為M（2，－1），可設拋物線的解析式為線，再把點B（3，0）代入即可求得結果；
（2）先求得拋物線與y軸的交點坐標，可得∠ABC=45°，過點B作BN⊥x軸交CD于點N，根據軸對稱的性質可得∠ACB=∠NCB，再結合公共邊CB可得△ACB≌△NCB，即可得到BN=BA，根據拋物線的對稱性求得點A的坐標，即可得到點N的坐標，再根據待定系數法即可求得結果；
（3）設P（2，p），先根據勾股定理表示出PM、PB、PC，再根據PM²＋PB²＋PC²＝35即可得到關于p的方程，解出即可.
（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點為M（2，－1），
∴設拋物線的解析式為線
∵點B（3，0）在拋物線上，∴，解得
∴該拋物線的解析式為，即；
（2）在中，令x=0，得
∴C（0，3）
∴OB=OC=3 
∴∠ABC=45
過點B作BN⊥x軸交CD于點N，

則∠ABC=∠NBC=45°
∵直線CD和直線CA關于直線BC對稱，
∴∠ACB=∠NCB
又∵CB=CB，
∴△ACB≌△NCB
∴BN=BA
∵A，B關于拋物線的對稱軸x=2對稱，B（3，0），
∴A（1，0）
∴BN=BA=2 
∴N（3，2）
設直線CD的解析式為，
∵C（0，3），N（3，2）在直線CD上，
∴，解得
∴直線CD的解析式為；
（3）設P（2，p）
∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3）
∴


∵PM²＋PB²＋PC²＝35
∴
整理得
解得
∴P（2，－2）或（2，）.
考點：二次函數的綜合題
點評：解答本題的關鍵是注意當拋物線中出現了頂點坐標時，拋物線的解析式一般設為頂點式.