Question

如圖，一次函數圖象交反比例函數圖象于點M、N（N在M右側），分別交x軸、y軸于點C、D．過點M、N作ME、NF分別垂直x軸，垂足為E、F．再過點E、F作EG、FH平行MN直線，分別交y軸于點G、H，ME交FH于點K．
（1）如果線段OE、OF的長是方程a²-4a+3=0的兩個根，求該一次函數的解析式；
（2）設點M、N的橫坐標分別為m、n，試探索四邊形MNFK面積與四邊形HKEG面積兩者的數量關系；
（3）求證：MD=CN．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程a²-4a+3=0可以求出OE、OF，根據反比例函數解析式可以求出M，N的坐標，再利用待定系數法就求出了直線MN的解析式；
（2）容易知道DNFH、DMEG、DMKH為平行四邊形，根據M、N在反比例函數的圖象上，利用平行四邊形的面積公式就可以求出它們的面積，從而確定兩者的數量關系；
（3）此題既可以用幾何方法，也可以用代數方法．幾何方法設OE=m，OF=n，FC=a，然后用m、n表示ME、NF，然后利用△CNF∽△CME的對應邊成比例可以得到a=m，再證明△EGO≌△CNF，就可以得到MD=CN．代數方法主要利用m，n表示直線MN，然后利用m，n表示D，C的坐標，最后用勾股定理求出DM，CN，就證明了題目的結論．
解答：解：（1）∵a²-4a+3=0，解得a₁=1，a₂=3，OE=1，OF=3
∴M（1，6），N（3，2）
∴直線MN解析式y=-2x+8；

（2）∵HF∥CD，NF∥ME，EG∥DM
∴四邊形DNFH、DMEG、DMKH為平行四邊形，
∴設S_DMEG=ME•OE==6（1分）
S_DNFH=NF•OF==6（1分）
∴S_MNFK=S_HKEG；（1分）

（3）①幾何法：OE=m，OF=n，EF=n-m，ME=，NF=，（1分）
設FC=a，
∵△CNF∽△CME，
∴，即，得a=m（2分）
∵△EGO≌△CNF，EG=MD，得MD=CN（1分）
或②代數法：設直線MN為y=kx+b，．得（1分）
得D（0，）C（m+n，0）（1分）
DM=，
CN=（1分）
∴DM=CN．（1分）
點評：此題把一次函數，反比例函數等代數知識和平行四邊形，全等三角形，相似三角形等幾何知識結合在一起，綜合性比較強，要求學生有較強的分析問題好解決問題的能力．