Question

【題目】如圖（1），在正方形ABCD中，點E是AB邊上的一個動點（點E與點A，B不重合），連接CE，過點B作于點G，交AD于點F．

（1）求證：；

（2）如圖（2），當點E運動到AB的中點時，連接DG，求證：；

（3）如圖（3），在（2）的條件下，過點C作于點H，分別交AD，BF于點M，N，求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）先判斷出∠GCB+∠CBG＝90，再由四邊形ABCD是正方形，得出∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，即可得出結論；

（2）取BC中點P，連接PD交CG于Q，先證平行四邊形PBFD，進而可證PD是CG的垂直平分線，由此可得結論；

（3）先證得，再證得，繼續證得得進而可得結論．

證明：（1）∵BF⊥CE，

∴∠CGB＝90°，

∴∠GCB+∠CBG＝90，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，

∴∠FBA+∠CBG＝90，

∴∠GCB＝∠FBA，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

（2）如圖，取BC中點P，連接PD交CG于Q，

∵F是AD中點

∴，

∴為平行四邊形，

∴，

∴Q是CG中點，

又，

∴，

∴PD是CG的垂直平分線，

∴，

（3）∵E是AB中點，P是BC中點，

∴，

又∵，

∴，

由（2）知：

∴

又∵，，

∴

∴

又∵

∴

又∵在中，

∴

∴

∴，

∴．