Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F，若AB=2．
（1）直接寫出BC的長；
（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形中30°的角所對的邊是斜邊的一半可直接進行解答；
（2）先根據BC=1可求出AC的長，再根據△ABD是等邊三角形可知AD=2，由圖形折疊的性質可知CH=DH，設DH=x，在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出x的值，由銳角三角函數的定義即可求解．
解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，
∴BC=AB=1；

（2）由（1）得BC=1，
∴AC=，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AD=2，
設DH=x，由折疊得：DH=CH=x，
∴在Rt△ACH中，
由勾股定理得：（2-x）²+3=x²，
解得：x=
∴sin∠ACH==．
點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質、勾股定理、等邊三角形的性質及銳角三角函數的定義，解答此題的關鍵是熟知圖形折疊的性質，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．