Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=Rt∠，∠B=45°小宇用一塊三角板EGF，使直角邊EG與CD重合，點G與點C重合，直角邊EG沿著CB從點C往點B平移，當點G運動到點B時，平移就結束．設CG的長度為xcm，梯形ABCD被直角邊EG掃過的面積為ycm²，y與x的圖象如圖2所示，其中OP是線段，曲線PQ是拋物線的一部分，拋物線的頂點是Q（7，

33

2

）．
（1）直接寫出BC、AD、CD的長度；
（2）求出y與x之間的函數關系式，并寫出自變量的范圍；
（3）探究：三角板直角邊EG在運動過程中，是否存在這樣的點G，使得以A、D、G為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，求出x的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當運動到點A時，面積開始不是均勻變化，那么AD=CG=4，根據面積為12可得CD為3，等于7時結束，那么BC=7；
（2）當x≤4時，可設函數解析式為y=kx，把（4，12）代入即可求解，當4＜x≤7時，利用頂點式即可求得相應函數解析式；
（3）A、D、G為頂點的三角形為等腰三角形時應分情況進行探討．當AD=DG時，有1種情況，當AG=AD時，有2種情況，當AG=DG時，有一種情況．

解答：解：（1）易得四邊形AG′CD為矩形，
∴AD=G′C=4，
∴CD=12÷4=3，
當x=7時，運動結束，
∴BC=x=7；

（2）當0≤x≤4時，
設函數解析式為y=kx，
∴4k=12，
k=3，
∴y=3x，
當4＜x≤7時，
設函數解析式為y=a（x-7）²+

33

2

，
∴12=9a+

33

2

，
解得a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-7）²+

33

2

，
∴

y=3x(0≤x≤4) y=- 1 2 (x-7)2+ 33 2 (4＜x≤7)

；

（3）AD=AG時，
GG′=

42-32

=

7

，
所以x=4+

7

，或者x=4-

7

．
同理可得AD=DG，點D為兩腰的交點時，
x=GG′=

7

；
當AG=DG時，
x=

1

2

AD=2．

點評：拋物線上有頂點坐標，所求的拋物線解析式應設為頂點式求解比較簡便；三角形為等腰三角形，應分不同頂點為兩腰的交點進行分類討論．