Question

（2012•北辰區一模）如圖，ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，若△BCF的面積為18

3

cm²，則六邊形ABCDEF的面積為

54

3

cm²．

Answer 1

分析：由正六邊形的性質可知∠B=90°，∠BFC=30°，利用已知數據和三角形的面積公式，可求出正六邊形的邊長，作OH⊥CD，利用三角形的面積公式即可求出△COD的面積，進而可得出正六邊形ABCDEF的面積．

解答：解：連接OD，作OH⊥CD，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠COD=60°，
∴△COD是等邊三角形，
由正六邊形的性質可知∠B=90°，∠BFC=30°，設BC=x，
∴CF=2x，
∴BF=

FC2 -BC 2

=

3

x，
∵△BCF的面積為18

3

cm²，
∴

BC•BF

2

=18

3

，
即

x• 3 x

2

=18

3

，
∴x=6，
∴正六邊形的邊長為6，
∴OH=

CO2-CH2

=3

3

，
∴S_△COD=

1

2

•CD•OH=

6×3 3

2

=9

3

，
∴正六邊形ABCDEF的面積為6×9

3

=54

3

cm²，
故答案為：54

3

．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，根據題意作出輔助線，構造出等邊三角形利用正六邊形可分成6個全等的等邊三角形，根據等邊三角形的面積公式求解是解答此題的關鍵．