Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D．

(1)求∠BDC的度數；

(2)在圖1中，過點D作DE⊥BD，垂足為點D，過點B作BF∥DE交DC的延長線于點F(如圖2)，求證：BF是∠ABC的平分線．

Answer 1

【答案】(1)∠BDC=60°；(2)證明見解析.

【解析】

(1)依據三角形內角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝120°，進而得出∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，再根據∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D，即可得到，∠DBC+∠BCD＝120°，即可得出∠D＝180°﹣120°＝60°；

(2)依據DE⊥BD，BF∥DE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根據∠3＝∠4，可得∠1＝∠2，進而得到BF是∠ABC的平分線．

解：(1)∵△ABC中，∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，

∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，

又∵∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D，

∴∠CBD＝∠CBM，∠BCD＝∠BCN，

∴△BCD中，∠DBC+∠BCD＝(∠CBM+∠BCN)＝×240°＝120°，

∴∠D＝180°﹣120°＝60°；

(2)如圖2，∵DE⊥BD，BF∥DE，

∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，

即∠2+∠3＝90°，

∴∠1+∠4＝90°，

又∵∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∴BF是∠ABC的平分線．