Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．已知3AE=BE=6，則CF的長是（　　）

• A．12
• B．16
• C．12

  3

• D．16

  3

Answer 1

分析：首先連接OC，由3AE=BE=6，可求得直徑AB的長，半徑OA與OC的長，然后由在Rt△COE中，cos∠COE=

OE

OC

=

1

2

，可求得∠AOC=60°，即可證得△AOC是等邊三角形，求得AC的長，又由BF是⊙O的切線，CD⊥AB，可證得CD∥BF，然后利用平行線分線段成比例定理，即可求得答案．

解答：解：連接OC，
∵3AE=BE=6，
∴AE=2，AB=AE+BE=8，
∴OC=OA=

1

2

AB=4，
∴OE=OA-AE=2，
在Rt△COE中，cos∠COE=

OE

OC

=

1

2

，
∴∠COE=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OA=OC=4，
∵BF是⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF，
∴AC：CF=AE：BE=1：3，
∴CF=3AC=12．
故選A．

點評：此題考查了切線的性質、等邊三角形的判定與性質、特殊角的三角函數值以及平行線分線段成比例定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．