Question

28、從1，2，3…2004中任選k個數，使所選的k個數中，一定可以找到能構成三角形邊長的三個數（這里要求三角形邊長互不相等），試問滿足條件的k的最小值是

17

．

Answer 1

分析：這一問題等價于在1，2，3，，2004中選k個數，使其中任意三個數都不能成為三邊互不相等的一個三角形三邊的長，試問滿足這一條件的k的最大值是多少？符合上述條件的數組，當k=4時，最小的三個數就是1，2，3，由此可不斷擴大該數組，只要加入的數大于或等于已得數組中最大的兩個數之和．

解答：解：為使k達到最大，可選加入之數等于已得數組中最大的兩數之和，這樣得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16個數，對符合上述條件的任數組，a₁，a₂…a_n顯然總有a_i大于等于①中的第i個數，
所以n≤17≤k，從而知k的最小值為17．
故答案為：17．

點評：本題考查了三角形三邊關系．解題關鍵是得到加入之數等于已得數組中最大的兩數之和的16個數，從而列不等式求出k的最小值．