Question

如圖，正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，DF⊥CE于M，交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)EN、BM．有如下結(jié)論：
①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△ADN：S_CNFB=2：5．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①本題需先根據(jù)已知條件，得出△ADF與△DCE相似，即可得出結(jié)果．
②本題需先根據(jù)AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN這三個(gè)條件，得出△ANF≌△ANE，即可得出結(jié)論．
③本題需先根據(jù)AF∥CD，得出CN與AN的比值，即可求出結(jié)果．
④本題需先連接CF，再設(shè)S_△ANF=1，即可得出S_△ADN與S_{四邊形CNFB}的比值即可．
解答：解：①在△ADF和△DCE中，

∴△ADF≌△DCE（AAS），
故本選項(xiàng)正確；

②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中，
，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN錯(cuò)誤，
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四邊形ABCD為正方形，
∴AF=AB=DC，
∴==2，
∴CN=2AN，
故本選項(xiàng)正確；

④連接CF，
設(shè)S_△ANF=1，
則S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四邊形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5，
故本選項(xiàng)正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)問題，在解題時(shí)要注意全等三角形、相似等知識(shí)的綜合利用，在做題時(shí)要結(jié)合圖形是解題的關(guān)鍵．