Question

如圖，相等兩圓交于A、B兩點，過B任作一直線交兩圓于M、N，過M、N各引所在圓的切線相交于C，則四邊形AMCN有下面關系成立（ ）

A．有內切圓無外接圓
B．有外接圓無內切圓
C．既有內切圓，也有外接圓
D．以上情況都不對

Answer 1

【答案】分析：根據切線長定理，四邊形有內切圓時，四邊形的對邊之和相等．根據圓的內接四邊形的性質可以得到，四邊形如果有外接圓，四邊形的對角和應為180°．
解答：解：如圖：
因為⊙O₁與⊙O₂是等圓，所以相交的兩段相等，
則：∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN．
連接O₁M，O₁C，O₂N，O₂C，
∵CM，CN分別是兩圓的切線，
∴∠O₁MC=∠O₂NC=90°，
在直角△O₁MC和直角△O₂NC中，
O₁M=O₂N，∠MO₁C＜∠NO₂C，
∴MC＞NC
∴AM+NC≠AN+MC，
所以四邊形AMCN沒有內切圓．
連接AB，則∠CMN=∠MAB，∠CNM=∠NAB，
在△AMN中，∠AMN+∠ANM+∠MAN=180°，
∴∠CMN+∠CNM+∠AMN+∠ANM=180°，
即：∠AMC+∠ANC=180°，
所以四邊形AMCN有外接圓．
故選B．
點評：本題考查的是圓與圓的位置關系，根據兩等圓相交得到AM=AN，再由切線的性質得到直角三角形，在直角三角形中判斷CM，CN的大小，得到四邊形的對邊的和不等，確定四邊形沒有內切圓．根據弦切角定理和三角形的內角和得到四邊形的對角互補，確定四邊形有外接圓．