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【題目】如圖1，在線段AB上找一點C，C把AB分為AC和CB兩段，其中BC是較小的一段，如果BCAB=AC2，那么稱線段AB被點C黃金分割．為了增加美感，黃金分割經常被應用在繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域．如圖2，在“附中博識課程中”，小白菜們沿著紫禁城的中軸線，從內金水橋走到了太和殿，領略了古代建筑的宏偉.太和門位于太和殿與內金水橋之間靠近內金水橋的一側，三個建筑的位置關系滿足黃金分割．已知太和殿到內金水橋的距離約為100丈，設太和門到太和殿之間的距離為x丈，要求x，則可列方程為________________．

【答案】x2=100（100-x）

【解析】

根據黃金分割的概念列出比例式，計算即可．

設太和門到太和殿的距離為x丈，

由題意可得，x2=100（100-x）.

故答案為：x2=100（100-x）.

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【題目】為支援困山區，某學校愛心活動小組準備用籌集的資金購買A、B兩種型號的學習用品．已知B型學習用品的單價比A型學習用品的單價多10元，用180元購買B型學習用品與用120元購買A型學習用品的件數相同．

（1）求A，B兩種學習用品的單價各是多少元；

（2）若購買A、B兩種學習用品共1000件，且總費用不超過28000元，則最多購買B型學習用品多少件？

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(1)求證：Rt△ABM≌Rt△AND

(2)線段MN與線段AD相交于T，若AT=,求的值

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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與點B、點C重合），連接OC、OP，將線段OP繞點P順時針旋轉60°，得到線段PQ，連接BQ．

（1）如圖1，當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數量關系．

（2）如圖2，當點P在CB延長線上時，（1）中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，當點P在BC延長線上時，若∠BPO=15°，BP=4，請求出BQ的長．

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【題目】（知識鏈接）連結三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線．

（動手操作）小明同學在探究證明中位線性質定理時，是沿著中位線將三角形剪開然后將它們無縫隙、無重疊的拼在一起構成平行四邊形，從而得出：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．

（性質證明）小明為證明定理，他想利用三角形全等、平行四邊形的性質來證明．請你幫他完成解題過程(要求：畫出圖形，根據圖形寫出已知、求證和證明過程)．

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【題目】問題呈現：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG
∵M是的中點，
∴MA=MC
……
請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
實踐應用：
（1）如圖3，已知△ABC內接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中點，依據阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為BE=CE+ACBE=CE+AC；
（2）如圖4，已知等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC，D為上一點，連接DB，∠ACD=45°，AE⊥CD于點E，△BCD的周長為4+2，BC=2，請求出AC的長．