Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移個單位后得到的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：
①以點A為直角頂點．過點A作直線AD的垂線，與拋物線的交點即為所求點P．首先求出直線PA的解析式，然后聯立拋物線與直線PA的解析式，求出點P的坐標；
②以點P為直角頂點．此時點P只能與點B重合；
③以點E為直角頂點．此時點P亦只能與點B重合．
（3）拋物線沿射線AD方向平移個單位，相當于向左平移1個單位，并向上平移一個單位．據此，按照“左加右減”的原則，確定平移后拋物線的解析式．
解答：解：（1）根據題意得，A（1，0），D（0，1），B（-3，0），C（0，-3）．
拋物線經過點A（1，0），B（-3，0），C（0，-3），則有：
，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3．

（2）存在．
△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點A為直角頂點．
如解答圖，過點A作直線AD的垂線，與拋物線交于點P，與y軸交于點F．
∵OA=OD=1，則△AOD為等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，則△OAF為等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，-1）．
設直線PA的解析式為y=kx+b，將點A（1，0），F（0，-1）的坐標代入得：
，
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1．
將y=x-1代入拋物線解析式y=x²+2x-3得，x²+2x-3=x-1，
整理得：x²+x-2=0，
解得x=-2或x=1，
當x=-2時，y=x-1=-3，
∴P（-2，-3）；
②以點P為直角頂點．
此時∠PAE=45°，因此點P只能在x軸上或過點A與y軸平行的直線上．
過點A與y軸平行的直線，只有點A一個交點，故此種情形不存在；
因此點P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點只有點A、點B，故點P與點B重合．
∴P（-3，0）；
③以點E為直角頂點．
此時∠EAP=45°，由②可知，此時點P只能與點B重合，點E位于直線AD與對稱軸的交點上．
綜上所述，存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形．點P的坐標為（-2，-3）或（-3，0）．

（3）拋物線的解析式為：y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
拋物線沿射線AD方向平移個單位，相當于向左平移1個單位，并向上平移一個單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）²-4+1=x²+4x+1．
點評：本題考查了二次函數綜合題型，涉及二次函數的圖象與性質、待定系數法、拋物線與平移、等腰直角三角形等知識點，試題的考查重點是分類討論的數學思想．