Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=1，下列結論：①b＜0；②（a+c）²＞b²；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正確的結論有    （填上正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】分析：由拋物線的開口方向向上得到a＞0，由對稱軸為x==1，得2a+b=0，從而確定b＜0，由此確定①正確；
由拋物線與y軸的交點在y軸負半軸得到c＜0，進一步得到2a+b-c=-c＞0，由此判定③正確；
由于當x=1時，y=a+b+c＜0，當x=-1時，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，由此即可推出3b＜2c，由此判定④正確；
根據題意得到a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，即（a+b+c）（a-b+c）＜0，可推出②錯誤．
解答：解：∵拋物線的開口方向向上，
∴a＞0，
∵對稱軸為x==1，得2a+b=0，2a=-b，
∴a、b異號，即b＜0，
∴①正確；

∵拋物線與y軸的交點在y軸負半軸，
∴c＜0，
∴2a+b-c=-c＞0，
∴③正確；

∵當x=1時，y=a+b+c＜0，
∵當x=-1時，y=a-b+c＞0，
∴2a-2b+2c＞0，
∴-b-2b+2c＞0，
∴3b＜2c，
∴④正確；

∵a+b+c＜0，a-b+c＞0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）²-b²＜0，②錯誤．
正確答案：①③④．
故填答案：①③④．
點評：二次函數y=ax²+bx+c系數符號的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；
（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=判斷符號；
（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；
（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點的個數確定：
①2個交點，b²-4ac＞0；
②1個交點，b²-4ac=0；
③沒有交點，b²-4ac＜0．
（5）當x=1時，可確定a+b+c的符號，當x=-1時，可確定a-b+c的符號；
（6）由對稱軸公式x=，可確定2a+b的符號．