Question

定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內點．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點P就是四邊形ABCD的準內點．

（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點P．求證：點P是四邊形ABCD的準內點．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內點．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明）
（3）判斷下列命題的真假，在括號內填“真”或“假”．
①任意凸四邊形一定存在準內點．（______）
②任意凸四邊形一定只有一個準內點．（______）
③若P是任意凸四邊形ABCD的準內點，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（______）

Answer 1

解：（1）如圖2，過點P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD
∵EP平分∠DEC
∴PJ=PH．
同理PG=PI．
∴P是四邊形ABCD的準內點．

（2）

平行四邊形對角線AC，BD的交點P₁就是準內點，如圖3（1）．
或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P₁就是準內點，如圖3（2）；
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P₂就是準內點．如圖4．

（3）真；真；假．
分析：（1）過點P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分線的性質可知PJ=PH，PG=PI；
（2）平行四邊形對角線的交點，即為平行四邊形的準內點；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點，即為梯形的準內點；
（3）①當凸四邊形為平行四邊形時，易知其對角線交點即為其準內點；②當凸四邊形不為平行四邊形時，可以將四邊形的兩邊延長，構造三角形，其對角線交點即為準內點．
點評：此題是一道新定義探索性題目，考查了對新信息的理解與應用能力，同時考查了三角形及四邊形的性質．