Question

如圖所示⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG＝∠ABD，求證：AD·CE＝DE·DF．

(說明：(1)如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題地方法，請你把探索過程中的某種思維推導過程寫出來，(要求至少寫3步)．(2)在你歷經說明(1)的過程之后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．)

①∠CDB＝∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90“

Answer 1

答案：
解析：

名師導引：關鍵是證∠ABD＝∠DCE，連AF證∠DCE＝∠DBE是難點，∵Rt△CDE與Rt△CBE有公共斜邊，∴有公共外接圓． 　　解答：如圖，連結AF，則∠ABD＝∠F，而∠ADG＝∠ABD，∴∠ADG＝∠F，又∵DF為⊙O直徑，∴∠DAF＝，∴∠DAF＝∠CDE＝，又∵CB⊥AB，∴∠CBE＝，取EC中點M，連結DM，BM，則DM＝BM＝EM，即D、E、B、C在以BC為直徑的圓上，∴∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠F，即△DAF∽△EDC，∴＝，即AD·CE＝DE·DF． 　　(一)寫出探索過程： 　　如圖；連接AF．∵DF為⊙O直徑，∴∠DAF＝，∠ADF＋∠F＝，∴∠ADG＝∠ABD，∠ABD＝∠F，∴∠ADG＝∠F，∠ADF＋∠ADG＝，∴DF⊥CG． 　　(二)選取①證明，如圖，連接AF，則∠ABD＝∠F． 　　∵∠ADG＝∠ABD，∴∠ADG＝∠F，又∵DF是⊙O直徑，∴∠DAF＝，∴∠ADF＋∠F＝，∠ADG＋∠ADF＝∠FDC＝，∠DAF＝∠CDE＝，又∵CD是⊙O切線，∴∠BAD＝∠BDC，又∵∠BDC＝∠CEB．∴∠BAD＝∠CEB，AD∥EC，即∠ADF＝∠DEC，∴△DAF∽△EDC．∴＝，即AD·CE＝DE·DF． 　　(三)選取②，如圖連接AF，得∠DAF＝∠CDE＝，又∵AD∥CE，∴∠ADF＝∠DEC，∴△DAF∽△EDC，∴＝，即AD·CE＝DE·DF．