Question

如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，0）、（x₂，0），其中x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²+2x+m-3=0的兩根，且x₁＜0＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；
（3）在上述條件下，若點(diǎn)D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直線AD的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）利用判別式和兩根的積為負(fù)數(shù)作為不等關(guān)系：22-4（m-3）=16-m＞0①，x₁x₂=m-3＜0，解不等式可得m的取值范圍是m＜3；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得到AO=3BO，即x₁=-3x₂，和兩根和的關(guān)系x₁+x₂=-2，聯(lián)立方程組可解得x₁=-3，x₂=1，代入x₁•x₂=m-3，得m=0；
（3）過D作DF⊥軸于F，從（2）可得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（-3，O）、B（1，O），可證明△DAB≌△CBA，所以DF=CO=

3

，AF=B0=1，OF=A0-AF=2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，

3

），利用待定系數(shù)法可解直線AD的函數(shù)解析式為y=

3

x+3

3

．

解答：解：（1）由題意，得：
2²-4（m-3）=16-m＞0 ①
x₁x₂=m-3＜0         ②
解①得m＜4
解②得m＜3
所以m的取值范圍是m＜3；（3分）

（2）由題意可求得∠OCB=∠CAB=30°，
所以BC=2BO，AB=2BC=4BO，
所以A0=3BO，（4分）
從而得x₁=-3x₂③，
又因?yàn)閤₁+x₂=-2④，
聯(lián)合③、④解得x₁=-3，x₂=1，（5分）
代入x₁•x₂=m-3，得m=O；（6分）

（3）過D作DF⊥軸于F，
從（2）可得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（-3，O）、B（1，O）
∴BC=2，AB=4，OC=

3

∵△DAB≌△CBA
∴DF=CO=

3

，AF=B0=1，OF=A0-AF=2
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，

3

）
∴直線AD的函數(shù)解析式為y=

3

x+3

3

．

點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活地運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．