Question

如圖，已知一次函數y=kx+b的圖象交反比例函數y=（x＞0）圖象于點A、B，交x軸于點C，交y軸于點D，若點A的坐標是（2，-4），且．
（1）求m的值和一次函數的解析式；
（2）連接OA，求△OAC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作AE垂直于OC，交OC于點E，過B作BF⊥OC，交OC于點F，先把點A的坐標代入反比例函數表達式求出m的值，從而的反比例函數解析式，設點B的坐標為B（x，y），利用相似三角形對應邊成比例求出y的值，然后代入反比例函數解析式求出點B的坐標，設出一次函數解析式為y=kx+b，將A和B的坐標代入得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數解析式；
（2）由第一問求出的一次函數解析式，令y=0求出x的值，即為C的橫坐標，確定出OC的長，由A的縱坐標確定出AE的長，以OC為底，AE為高，利用三角形的面積公式即可求出三角形AOC的面積．
解答：解：（1）過A作AE⊥OC，交OC于點E，過B作BF⊥OC，交OC于點F，
∵點A（2，-4）在反比例函數圖象上，
∴=-4，
解得：m=6，
∴反比例函數解析式為y=-，
∵∠AEC=∠BFC=90°，且∠BCF=∠ACE，
∴△BCF∽△ACE，
∴=，
∵=，∴=，
設點B的坐標為（x，y），
則點B到x軸的距離為-y，又點A到x軸的距離為4，
∴==，
解得y=-1，
∴-=-1，
解得：x=8，
∴點B的坐標是B（8，-1），
設這個一次函數的解析式為y=kx+b，
∵點A、B是直線與反比例函數圖象的交點，
∴，
解得：，
則一次函數解析式為y=x-5；


（2）令y=x-5中y=0，
解得：x=10，
則C（10，0），即OC=10，
又∵A（2，-4），
∴AE=4，
則S_△AOC=OC•AE=×4×10=20．
點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，比例的性質，坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，是一道較難的試題．