Question

已知拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）有如下兩個特點：①無論實數a怎樣變化，其頂點都在某一條直線l上；②若把頂點的橫坐標減少，縱坐標增大分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）上．
（1）求出當實數a變化時，拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）的頂點所在直線l的解析式；
（2）請找出在直線l上但不是該拋物線頂點的所有點，并說明理由；
（3）你能根據特點②的啟示，對一般二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）提出一個猜想嗎？請用數學語言把你的猜想表達出來，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）取a=1和-1，求出兩點的坐標，用待定系數法求出直線l的解析式即可；
（2）求出拋物線y=ax²+2x+3的頂點P坐標為，根據其取值，即可得出不是該拋物線的頂點的坐標；
（3）猜想：對于拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），將其頂點的橫坐標減少，縱坐標增加分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上；求出其橫、縱坐標，把橫坐標代入函數式，驗證即可；
解答：解：（1）取a=1，得拋物線y=x²+2x+3，
其頂點為P₁（-1，2）．
取a=-1，得拋物線y=-x²+2x+3，
其頂點為P₂（1，4）．
由題意有P₁、P₂在直線l上，設直線l的解析式為y=kx+b，則
解得：
∴直線l的解析式為y=x+3．

（2）∵拋物線y=ax²+2x+3的頂點P坐標為．
顯然P在直線y=x+3上．
又能取到除0以外的所有實數，
∴在y=x+3上僅有一點（0，3）不是該拋物線的頂點．

（3）猜想：對于拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），將其頂點的橫坐標減少，縱坐標增加分別作為點A的橫、縱坐標；把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加分別作為點B的橫、縱坐標，則A，B兩點也在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上．證明如下：
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（），
∴點A的坐標為，
點B的坐標為．
∵時，
∴點A在拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），
同理有B也在拋物線上，故結論成立．
點評：本題主要考查了二次函數的解析式及用待定系數法求函數的解析式，熟記二次函數的頂點坐標公式及其性質，是正確解答的關鍵．