Question

已知：如圖，OA與oB外切于點C，DE是兩圓的一條外公切線，切點分別為D、E．
（1）判斷△DCE的形狀并證明；
（2）過點C作CO⊥DE，垂足為點O，以直線DE為x軸、直線DC為y軸建立直角坐標系，且OE=2，OD=8，求經過D、C、E三點的拋物線的函數解析式，并求出拋物線的頂點坐標；
（3）這條拋物線的頂點是否在連心線AB上？如果在，請你證明；如果不在，說明理由．

Answer 1

解：（1）△DCE是直角三角形，
過C點作⊙A與⊙B的內公切線交DE于F，則FC=FD，FC=FE，
∴FC是△CDE的中線，且FC=DE，
∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；

（2）在Rt△DCE中，CO⊥DE于O點，△DOC∽△COE，
∴OC²=OD•OF=16，OC=4，C點坐標（0，4），
設經過D、C、E三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c或者y=a（x-x₁）（x-x₂），
把．D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入解析式，
解得：y=-x²-1.5x+4，
∴頂點坐標是（-3，）；

（3）答：拋物線的頂點在連心線AB上．證明如下：
連接AD、BE，過B點作BG⊥AD于G，設⊙A半徑為R，⊙B半徑為r，
∵AD∥CO∥BE，
∴AC：CB=DO：OE=4：1
在Rt△AGB中，AB²=AG²+BG²，
∴r=R=10，
．∴A點坐標（-8，10），B點坐標（2，2.5），
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
解得y=-x+4，
把拋物線頂點坐標（-3，）代入直線的解析式，
左邊=右邊=，
∴拋物線y=-x²-1.5x+4的頂點P（-3，）在連心線AB上．
分析：（1）過C點作⊙A與⊙B的內公切線交DE于F，可得出FC=FD，FC=FE，則△DCE是直角三角形；
（2）可證明△DOC∽△COE，則OC²=OD•OF=16，可求出C點坐標（0，4），設經過D、C、E三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c或者y=a（x-x₁）（x-x₂），把D（-8，0），E（2，0），C（0，4）代入即可解得解析式，從而求出頂點坐標；
（3）連接AD、BE，過B點作BG⊥AD于G，設⊙A半徑為R，⊙B半徑為r，由AD∥CO∥BE，得AC：CB=DO：OE=4：1，在Rt△AGB中，根據勾股定理可求得r．即可得出A點坐標，B點坐標，設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），把拋物線頂點坐標代入直線的解析式，從而判斷出拋物線的頂點P在連心線AB上．
點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查相切兩圓的性質、函數以及相似三角形的判定和性質等知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．