Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A₁B₁C．
（1）如圖1，當(dāng)AB∥CB₁時(shí)，設(shè)A₁B₁與BC相交于D．證明：△A₁CD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接AA₁、BB₁，設(shè)△ACA₁和△BCB₁的面積分別為S₁、S₂．求證：S₁：S₂=1：3；
（3）如圖3，設(shè)AC中點(diǎn)為E，A₁B₁中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP，當(dāng)θ=______°時(shí)，EP長度最大，最大值為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)AB∥CB₁時(shí)，∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，則∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，可證：△A₁CD是等邊三角形；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ACA₁∽△BCB₁，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP，當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₁B₂C的位置時(shí)，此時(shí)θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=a+a=a．根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長．
解答：（1）證明：如圖，∵AB∥CB₁，
∴∠BCB₁=∠B=∠B₁=30°，
∴∠A₁CD=90°-∠BCB₁=60°，∠A₁DC=∠BCB₁+∠B₁=60°，
∴△A₁CD是等邊三角形；

（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AC=CA₁，∠ACA₁=∠BCB₁，BC=CB₁，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1²：²=1：3；

（3）解：如圖，連接CP，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到△A₁B₂C的位置時(shí)，
此時(shí)θ=∠ACA₁=120°，EP=EC+CP=a+a=a．
故答案為：120，a．
點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)及特殊三角形的性質(zhì)證明問題．