Question

如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，動點P從點C出發，沿折線C-B-A-D向終點D運動，速度為acm/s；動點Q從點B出發，沿對角線BD向終點D運動，速度為cm/s．當其中一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．當點P、點Q同時從各自的起點運動時，以PQ為直徑的⊙O與直線BD的位置關系也隨之變化，設運動時間為t（s）．
（1）寫出在運動過程中，⊙O與直線BD所有可能的位置關系______；
（2）在運動過程中，若a=3，求⊙O與直線BD相切時t的值；
（3）探究：在整個運動過程中，是否存在正整數a，使得⊙O與直線BD相切兩次？若存在，請直接寫出符合條件的兩個正整數a及相應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）點Q為直線BD上的點，PQ為直徑，⊙O與直線BD的位置關系只可能是：相切、相交；

（2）當P點在BC上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，BQ=PB，即×t=5-3t，
解得t₁=1，
當P點在AB上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，BQ=PB，即×t=3t-5，
解得t₂=5（舍去），
當P點在AD上時，PQ⊥BD，⊙O與直線BD相切，
△BQP為等腰直角三角形，BQ=PB，即2t=15-3t，
t₃=5（舍去）；
故t=1時，⊙O與直線BD相切．

（3）存在，由（2）可知，（a+2）t=5，或者（a-2）t=5，
且t＜5，故a≥4且a為正整數，t₁=，t₂=．
分析：（1）因為直徑PQ與直線BD有一個交點，直線與圓不可能相離；
（2）運動過程中，已知∠PBQ=45°，直線與圓相切時，PQ⊥BD，圍繞等腰直角三角形的兩邊關系，建立方程求解；
（3）根據題目的限制條件t＜5，根據（2）得出一般結論，再根據限制條件求a的范圍．
點評：本題考查了運動過程中，滿足條件時，△BPQ始終是等腰直角三角形這一條件．