Question

已知A₁、A₂、A₃是拋物線y=x²上的三點，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸，垂足為B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁A₃于點C．
（1）如圖，若A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1，2，3，求線段CA₂的長；
（2）如圖，若將拋物線y=x²改為拋物線y=x²-x+1，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，求線段CA₂的長；
（3）若將拋物線y=x²改為拋物線y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續整數，其他條件不變，請猜想線段CA₂的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）．

Answer 1

解：（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A₁B₁=×1²=，A₂B₂=×2²=2，A₃B₃=×3²=
設直線A₁A₃的解析式為y=kx+b．
∴
解得
∴直線A₁A₃的解析式為y=2x-，
∴CB₂=2×2-=
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=-2=．
方法二：∵A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，
∴A₁B₁=×1²=，A₂B₂=×2²=2，A₃B₃=×3²=
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）=（+）=
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=-2=．

（2）方法一：設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1，
則A₁B₁=（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=n²-n+1，
A₃B₃=（n+1）²-（n+1）+1
設直線A₁A₃的解析式為y=kx+b．
∴
解得，
∴直線A₁A₃的解析式為y=（n-1）x-n²+．
∴CB₂=n（n-1）-n²+=n²-n+
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=n²-n+-n²+n-1=
方法二：設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1．
則A₁B₁=（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=n²-n+1，
A₃B₃=（n+1）²-（n+1）+1
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=（A₁B₁+A₃B₃）
=[（n-1）²-（n-1）+1+（n+1）²-（n+1）+1]
=n²-n+
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=n²-n+-（n²-n+1）=．

（3）當a＞0時，CA₂=a；
當a＜0時，CA₂=-a．
分析：（1）A₁、A₂、A₃是拋物線y=x²上的三點，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1，2，3，代入函數解析式就可以求出三個點的坐標，再根據待定系數法就可以求出直線A₁A₃的解析式．求出直線B₂A₂與A₁A₃的交點坐標，進而求出A₂C的長．
（2）設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為n-1、n、n+1，可以采用與第一問相同的方法解決．
點評：本題主要考查了函數圖象上的點與解析式的關系，點在圖象上，就一定滿足函數的解析式．