Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60º．
【小題1】求⊙O的直徑；
【小題2】若D是AB延長線上一點，連結CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；
【小題3】若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動，設運動時間為，連結EF，當為何值時，△BEF為直角三角形．

Answer 1

【小題1】∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB＝90º∵∠ABC＝60º
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º∴AB＝2BC＝4cm 即⊙O的直徑為4cm．
【小題1】如圖1，CD切⊙O于點C，連結OC，則OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圓的切線垂直于經過切點的半徑）∴∠OCD＝90º∵∠BAC＝ 30º
∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º  ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º ∴OD＝2OC＝4cm
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴當BD長為2cm，CD與⊙O相切．      
【小題1】根據題意得：AE＝2tcm；BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如圖2，當EF⊥BC時，△BEF為直角三角形，此時△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC
即：（4－2t）：4＝t：2  解得：t＝1
如圖3，當EF⊥BA時，△BEF為直角三角形，此時△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA
即：（4－2t）：2＝t：4  解得：t＝1.6   ∴當t＝1s或t＝1.6s時，△BEF為直角三角形．解析:
直徑所對的圓周角為90°，然后根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可以求得直徑的長；由切線定理可以求得當BD長為2cm，CD與⊙O相切；第（3）涉及到三角形相似，求得t的值。