Question

在平面直角坐標系中(單位長度：1 cm)，A、B兩點的坐標分別為(－4，0)，(2，0)，點P從點A開始以2 cm/s的速度沿折線AOy運動，同時點Q從點B開始以1 cm/s的速度沿折線BOy運動．

⑴在運動開始后的每一時刻一定存在以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形嗎？如果存在，那么以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形相似嗎？以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形會同時成為等腰直角三角形嗎？請分別說明理由．

⑵試判斷時，以點A為圓心，AP為半徑的圓與以點B為圓心、BQ半徑的圓的位置關系；除此之外⊙A與⊙B還有其他位置關系嗎？如果有，請求出t的取值范圍．

⑶請你選定某一時刻，求出經過三點A、B、P的拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

⑴①不一定．例如：當t≤2s時，點A、O、P與點B、O、Q都不能構成三角形．②當t＞2s時，即當點P、Q在y軸的正半軸上時，△AOP～△BOQ．這是因為：，，∠AOP＝∠BOQ＝90°．③會成為等腰直角三角形．這是因為：當OA＝OQ＝4時，OA＋OQ＝8，即當t＝4a時，△AOP為等腰直角三角形．同理可得，當t＝4s時，△BOQ為等腰直角三角形． 　　⑵①當時，，，同理可得BQ＝6 cm，∴AB＝AP－BQ，∴此時⊙A與⊙B內切．②有．當外高時，0＜t＜2；當外切時，t＝2；當相交時，；當內含時，t＞2． 　　⑶當時，，此時點的坐標為，設經過點、、的拋物線的解析式為，則解得故所求解析式為．