Question

已知，在平面直角坐標系xoy中，點A的坐標為（0，2），點P（m，n）是拋物線

上的一個動點．

（1）如圖1，過動點P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，請通過測量或計算，比較PA與PB的大小關系：PA      PB（直接填寫“>”“<”或“=”，不需解題過程）；

（2）請利用（1）的結論解決下列問題：

①如圖2，設C的坐標為（2，5），連接PC， AP+PC是否存在最小值？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，簡單說明理由；

②如圖3，過動點P和原點O作直線交拋物線于另一點D，若AP=2AD，求直線OP的解析式.

 

           （第24題圖1）              （第24題圖2）                 （第24題圖3）

Answer 1

解：（1）PA  ＝  PB…………………………………………………………2分

    （2）①過點P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，

        所以要使AP+CP最小，只需當BP+CP最小，因此當C，P，B共線時取得，

        此時點P的橫坐標等于點C（2，5）的橫坐標，

所以點P的坐標為（2，2）……………………………………………4分

        ②當點P在第一象限時，如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，

        由（1）得：DA=DE，PA=PF

        ∵PA=2DA，∴PF=2DE，

        ∵△ODE∽△OPF，∴

        設P（m，），則D（，）

        ∵點D在拋物線上，

（負舍去）

∴，解得

此時P（，3），直線OP的解析式為………………6分

當P在第二象限時，

同理可求得直線OP的解析式為………………………2分

綜上，所求直線OP的解析式為或.