Question

（2013•陜西）如圖，直線l與⊙O相切于點D，過圓心O作EF∥l交⊙O于E、F兩點，點A是⊙O上一點，連接AE、AF，并分別延長交直線l于B、C兩點．
（1）求證：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）當⊙O的半徑R=5，BD=12時，求tan∠ACB的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知EF是圓的直徑，所以∠EAF=90°，即∠ABC+∠ACB=90°；
（2）連接OD，則OD⊥BD，過E作EH⊥BC于H，則四邊形EODH是正方形，易求tan∠BEH=

BH

EH

=

7

5

，再證明∠ACB=∠BEH即可．

解答：（1）證明：∵EF是圓的直徑，
∴∠EAF=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°；

（2）解：連接OD，則OD⊥BD，
過E作EH⊥BC于H，

∴EH∥OD，
又∵EO∥HD，OE∥DH，
∴四邊形OEHD是矩形，
又∵OE=HD，
∴四邊形EODH是正方形，
∴EH=HD=OD=5，
又∵BD=12，
∴BH=7，
在Rt△BEH中，tan∠BEH=

BH

EH

=

7

5

，
∵∠ABC+∠BEH=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEH，
∴tan∠ACB=

7

5

．

點評：本題考查了圓周角定理、正方形的判定和性質、切線的性質以及銳角三角函數值，題目的綜合性很強，難度中等．