Question

已知⊙O₁與⊙O₂相切于點P，它們的半徑分別為R、r．一直線繞P點旋轉，與⊙O₁、⊙O₂分別交于點A、B（點P、B不重合），探索規律：
（1）如圖1，當⊙O₁與⊙O₂外切時，探求

PA

PB

與半徑R、r之間的關系式，請證明你的結論；
（2）如圖2，當⊙O₁與⊙O₂內切時，第（1）題探求的結論是否成立？為什么？

Answer 1

分析：要求

PA

PB

與半徑R、r之間的關系式，證明△O₁AP∽△O₂BP是關鍵，注意兩圓的位置關系．

解答：解：（1）當⊙O₁與⊙O₂外切時，

PA

PB

=

R

r

（3分）
證明：連接O₁A，O₂B
∵兩圓外切，
∴O₁、P、O₂三點共線
∵△O₁AP和△O₂BP是等腰三角形，∠O₁PA=∠BPO₂，
∴∠O₁AP=∠O₂BP
∴△O₁AP∽△O₂BP
∴

PA

PB

=

R

r

；（4分）

（2）當⊙O₁與⊙O₂內切時，

PA

PB

=

R

r

仍然成立（2分）
證明：連接O₁A，O₂B，同理可證△PO₁A∽△PO₂B，
∴

PA

PB

=

R

r

仍然成立．（3分）
（注：能指出當動直線AB經過兩圓的圓心時，PA=2R，PB=2r，∴

PA

PB

=

R

r

，獎勵1分．）

點評：本題考查了兩圓的位置關系，相似三角形的判定和性質，是一個探究性的題目．