Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，
（1）求證：OD∥BE；
（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OE，由AM和BN是它的兩條切線，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，由切線長定理，可得∠AOD=∠EOD=∠AOE，∠AOD=∠ABE，根據同位角相等，兩直線平行，即可證得OD∥BE；
（2）由（1），易證得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的長．
解答：（1）證明：連接OE，
∵AM、DE是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑，
∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，…（2分）
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，
∵∠ABE=∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE； …（5分）

（2）由（1）得：∠AOD=∠EOD=∠AOE，
同理，有：∠BOC=∠EOC=∠BOE，
∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°，
∴∠EOD+∠EOC=90°，
∴△DOC是直角三角形，…（7分）
∴CD==10（cm）．…（9分）
點評：此題考查了切線的性質、切線長定理、平行線的判定以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．