Question

（2001•哈爾濱）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，，梯形的高，且．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）設點M是梯形對角線AC上一點，DM的延長線與BC相交于點F，當時，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可先表示出梯形ABCD的面積以及三角形ABC的面積，然后根據(jù)它們的比例關系可得出AD，BC的和與AD，BC的積的比例關系，然后將化簡，可得出關于AD，BC的和與BC的比例關系，讓兩個式子相除即可得出AD的值，也就能求出BC，AB的長了．有了AB的長，那么可在直角三角形ABE中，根據(jù)AB，AE的值用正弦函數(shù)求出∠B的度數(shù)．
（2）本題的關鍵是求出CF，DF的長，題中給出了三角形ADM的面積，那么我們可通過作高線來求解．過M作兩底的垂線交AD于H，交BC于N．那么根據(jù)三角形ADM的面積我們可求出MH的長，也就能求出MN的長，根據(jù)三角形ADM和FMC相似，我們可得出AD與FC的比應該等于兩三角形的對應的高的比．這樣就能求出CF的長，然后通過CF的長，判定出四邊形ADFB是菱形，然后即可得出DF的長，這樣就能求出所求的方程了．
解答：解：（1）∵S_梯形ABCD=（AD+BC）•AE，S_△ABC=BC•AE
∴==…①
∵
∴=…②
①÷②得：AD=5
∴AB=AD=5，BC=8
直角三角形ABE中，sinB=AB：AE=
∴∠B=60°；

（2）過M作HN垂直于梯形ABCD的兩底，且交AD于H，交BC于N．
S_△ADM=AD•MH=×5•MH=
∴MH=
∴MN=AE-MH=
∵AD∥BC
∴△ADM∽△FCM
∴AD：FC=MH：MN，即5：FC=5：3
∴CF=3
∴BF=BC-CF=8-3=5=AD
∵AD∥BC
∴四邊形ABFD是平行四邊形
∵AD=AB=BF
∴四邊形ABFD是菱形
∴DF=5
那么以CF，DF為根的一元二次方程就應該是x²-8x+15=0．
點評：本題主要考查了梯形的性質，相似三角形的判定和性質以及一元二次方程根與系數(shù)的關系等知識點，（2）中，通過作高和相似三角形來得出CF，DF的長是解題的關鍵．