Question

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交線段AB于點E．
（1）如圖1，當∠ACB=90°時，則線段DE、CE之間的數量關系為

 

；
（2）如圖2，當∠ACB=120°時，求證：DE=3CE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F是BC邊的中點，連接DF，DF與AB交于G，△DKG和△DBG關于直線DG對稱（點B的對稱點是點K，延長DK交AB于點H．若BH=10，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）易證△DBE∽△CAE，通過相似比，可得出結論；
（2）通過作輔助線，過點B作BM⊥DC于M，證明△BME≌△ACE，可證得結論；
（3）過點B作BM′⊥DC于點M′，過點F作FN⊥DB交DB的延長線于點N，設BF=a，在直角三角形BFN中，用a分別表示出BN、FN的長，利用勾股定理得出DF，再通過證明△BME≌△ACE，△BGF∽△DGH，利用相似比求得FG、DG、BG，然后，根據△DKG和△DBG關于直線DG對稱，證得△BGF∽△DGH，利用相似比得出GH、BH，求出a的值，從而求出CE的長．

解答：（1）解：∵∠DBC=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴∠DBE=∠CAE
又∵∠DEB=∠AEC，
∴△DBE∽△CAE，
∴

BD

AC

=

DE

CE

，
又∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案為DE=2CE．

（2）證明：如圖2，∵∠DBC=∠ACB=120°，BD=BC，
∴∠D=∠BCD=30°，∴∠ACD=90°，
過點B作BM⊥DC于M，則DM=MC，BM=

1

2

BC，
∵AC=

1

2

BC，∴BM=AC，
∵在△BME和△ACE中

∠BME=∠ACE ∠MEB=∠AEC BM=AC

∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=

1

2

CM，
∴DE=3EC；

（3）解：如圖，過點B作BM′⊥DC于點M′，過點F作FN⊥DB交DB的延長線于點N，
設BF=a，
∵∠DBF=120°，
∴∠FBN=60°，
∴FN=

3

2

a，BN=

1

2

a，
∵DB=BC=2BF=2a，∴DN=DB+BN=

5

2

a，
∴DF=

DN2+FN2

=

( 5 2 a)2+( 3 2 a)2

=

7

a，
∵AC=

1

2

BC，BF=

1

2

BC，
∴BF=AC，
∴△BDF≌△BCA（SAS），
∴∠BDF=∠CBA，
又∵∠BFG=∠DFB，
∴△FBG∽△FDB，
∴

FG

BF

=

BF

DF

=

BG

DB

，
∴BF²=FG×FD，
∴a²=

7

a×FG，
∴FG=

7

7

a，
∴DG=DF-FG=

6 7

7

a，BG=

FG×DB

BF

=

2 7

7

a，
∵△DKG和△DBG關于直線DG對稱，
∴∠GDH=∠BDF，
∴∠ABC=∠GDH，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴△BGF∽△DGH，
∴

BG

DG

=

GF

GH

，
∴GH=

DG×GF

BG

=

3 7

7

a，
∵BH=BG+GH=

5 7

7

a=10，
∴a=2

7

；
∴BC=2a=4

7

，
CM′=BCcos30°=2

21

，
∴DC=2CM′=4

21

，
∵DE=3EC，
∴EC=

1

4

DC=

21

．

點評：本題考查了全等、相似三角形的判定和性質，勾股定理的應用，本題考查的知識點較多，綜合性較強，作好輔助線，對于證明結論事半功倍．