Question

（2012•松江區二模）已知直線y=3x-3分別與x軸、y軸交于點A，B，拋物線y=ax²+2x+c經過點A，B．
（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點B關于直線l的對稱點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．
①求點D的坐標；
②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P，其對稱軸與直線y=3x-3交于點E，若tan∠DPE=

3

7

，求四邊形BDEP的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據直線y=3x-3分別與x軸、y軸交于點A，B兩點求出A、B兩點的坐標，再把AB兩點的坐標代入
拋物線y=ax²+2x+c即可得出a、c的值，進而得出拋物線的解析式，故可得出其對稱軸方程及頂點坐標；
（2）①由于B、C兩點關于直線x=-1對稱，故C（-2，-3），BC∥x軸，點D在y軸的正半軸所以AD不能平行于BC，故AB∥CD，設直線CD的解析式為y=3x+b，把C點坐標代入即可得出直線CD的解析式，故可得出D點坐標；
②作DF⊥PE于F，則PF=7，在Rt△DFP中，tan∠DPE=

DF

PF

=

DF

7

=

3

7

可得出DF的長，再把x的值代入直線AB即可得出y的值，故可得出E點坐標，由梯形的面積公式即可求出四邊形BDEP的面積．

解答：解：（1）∵直線y=3x-3分別與x軸、y軸交于點A，B，
∴A（1，0），B（0，-3），
∵拋物線y=ax²+2x+c過點A（1，0），B（0，-3）
∴

a+2+c=0 c=-3

，
解得

a=1 c=-3

．
∴y=x²+2x-3，
∴y=（x+1）²-4，
∴對稱軸為直線x=-1，頂點坐標為（-1，-4）；

（2）①∵B、C兩點關于直線x=-1對稱，
∴C（-2，-3），BC∥x軸
∴AB∥CD，設直線CD的解析式為y=3x+b，
∵C（-2，-3），
∴-6+b=-3，
∴b=3，
∴直線CD的解析式為y=3x+3
∴D（0，3），
②作DF⊥PE于F，則PF=7，
在Rt△DFP中，tan∠DPE=

DF

PF

=

DF

7

=

3

7

，
∴DF=3，
∴P（3，-4），即EP的方程為x=3，
∵點E在直線y=3x-3上，
∴y=3×3-3=6，
∴點E（3，6），
∴S_{四邊形BDEP}=

1

2

（BD+EP）•DF=

1

2

（6+10）×3=24．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式、梯形的面積公式等知識點，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．