Question

【題目】如圖，在中，直徑垂直弦于點，且.點為上一點（點不與點，重合），連結，，，，.過點作于點.給出下列結論:①是等邊三角形；②在點從的運動過程中，的值始終等于.則下列說法正確的是（ ）

A.①，②都對B.①對，②錯C.①錯，②對D.①，②都錯

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根據OE=DE=OD，OE⊥AE,可得∠OAE=30°，再根據等腰三角形的性質，垂徑定理的推論，可以得出△ABC中兩個內角為60°，可以得出結論；②延長CP，使PQ=CP，連接BQ,根據∠BPQ=∠CAB=60°，可得△BPQ為等邊三角形，再證明△CBQ≌△ABP，推出CQ=AP,因此AP-BP=CQ-PQ=CP,在Rt△CFP中從而可得出結論.

解：①∵OE=DE=OD，OE⊥AE,∴∠OAE=30°，

∴∠AOE=60°，又OC=AO,∴∠CAO=∠ACO=30°，

根據垂徑定理的推論可得，弧AD=弧BD，∴∠ACD=∠BCD=30°，

∴∠CAB=∠ACB=60°，

∴△ABC為等邊三角形.故①正確.

②延長CP，使PQ=CP，連接BQ,

∵四邊形ABPC為圓O的內接圓，

∴∠BPQ=∠CAB=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

∴BQ=BP=PQ，∠QBP=60°，

∴∠QBP=∠ABC,

∴∠CBQ=∠ABP，

又∠PAB=∠BCP,BQ=BP,

∴△CBQ≌△ABP（AAS）,

∴AP=CQ,

∴AP-BP=CQ-PQ=CP.

在Rt△CPF中，∠CPF=∠BPQ=60°，

∴,

∴

故②正確

故選：A.