Question

（2002•達州）如圖，O是∠ABC的邊BA上一點，以O為圓心的圓與角的另一邊BC相切于點D，交BO于點E，F是OA上一點，過F作FG⊥AB，交BC于點G，BD=2，sin∠ABC=，設OF=x，四邊形EDGF的面積為y．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）在直角平面坐標系內畫出這個函數的大致圖象；
（3）這個函數的圖象與經過點（1，）的正比例函數的圖象有無交點？若有交點，求出交點坐標；若無交點，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，則由切線性質可得OD⊥BC，作EH⊥BD垂足為H，由sin∠ABC=，可知∠ABC=30°，圖形中就有三個30°的直角三角形，分別是△BEH、△BOD和△BGF，先解△BOD，由BD=2，可求OD、OB、BE，再解△BEH，可求EH及△BED的面積，由于OF=x，則BF可表示出來，解Rt△BGF，可表示FG及△BGF的面積，用S_{四邊形EDGF}=S_△BGF-S_△BDE即可；
（2）畫圖象時，要注意拋物線對稱軸，頂點坐標，與坐標軸的交點及自變量的取值范圍；
（3）由點（1，）可得正比例函數關系式，與二次函數解析式聯立，解方程組即可．
解答：解：（1）連接OD，則OD⊥BC，
∴△BOD是直角三角形，由sin∠ABC==，設OD=m，則OB=2m，
在Rt△OBD中，BO²=BD²+OD²；即（2m）²=（2）²+m²，
∴OD=m=2，OB=2m=4，
∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2，BF=OB+OF=4+x．
作EH⊥BD垂足為H，則∠BHE=∠BDO=90°，
∴EH∥OD，
∵BE=OE，BH=HD，
∴EH=OD．
又∵S_△OBD=BD•OD=×2×2=2，
∴S_△BED=S_△OBD=，
∵GF⊥AB，∴∠BDO=∠BFG=90°，
又∵∠DBO=∠FBG，
∴△OBD∽△GBF，
，
即
∴S_△GBF=（4+x）²-
即y=（4+x）²-．

（2）所求函數的大致圖象如圖所示．

（3）設正比例函數為y=kx
∵這個正比例函數的圖象經過點（1，）．
∴=k×1，
∴k=
∴這個正比例函數是y=x．
解方程組，
得，
，
∴這個正比例函數與（1）中函數的圖象有兩個交點，
其坐標分別為（-2，）、（-5，-）．
點評：本題考查了解直角三角形，三角形面積的表示方法，求二次函數解析式及其圖象，二次函數圖象與一次函數圖象的交點等綜合運用問題，在表示不規則四邊形面積時，要學會作差法．