Question

（2012•邢臺(tái)二模）如圖，四邊形ABCD是梯形，sin∠OAD=tan∠OBC=

2

3

，PC是拋物線的對(duì)稱軸，且P（3，-3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；
（4）PD與AD垂直嗎？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)利用頂點(diǎn)式求出即可；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得出BM=3，再利用tan∠OBC=

CM

BM

=

2

3

，即可得出CM的長(zhǎng)，再利用D點(diǎn)在拋物線上，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)AN，NO的長(zhǎng)度得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)得出直線解析式即可；
（4）利用tan∠DPC=

CD

PC

=

15

5

，tan∠DAN=

DN

AN

=

2

5

，得出∠CPD≠∠DAN，進(jìn)而求出∠ADN+∠NDP≠90°得出答案即可．

解答：解：（1）根據(jù)圖象可得出拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0）和頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（3，-3），
故可得出解析式為：y=a（x-3） ²-3，
將（0，0）代入得出：a=

1

3

，
故拋物線解析式為：y=

1

3

（x-3） ²-3=

1

3

x²-2x；

（2）∵PC是拋物線的對(duì)稱軸，且P（3，-3），
∴BM=3，
∵tan∠OBC=

CM

BM

=

2

3

，
∴CM=2，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2．
2=

1

3

x2-2x，
解得x₁=3+

15

（不合題意舍去），x₂=3-

15

，
∴D(3-

15

，2)．

（3）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，
∵DN=2，sin∠OAD=

DN

AD

=

2

3

，
∴AD=3，
∴AN=

5

．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3-

5

-

15

，0），
把A，D的坐標(biāo)代入y=kx+b，得：

(3- 5 - 15 )k+b=0 (3- 15 )k+b=2

，
解得：

k= 2 5 5 b=2+2 3 - 6 5 5

，
即y=

2 5

5

x+2+2

3

-

6 5

5

；

（4）∵CD=NO+OM=

15

-3+3=

15

，CP=CM+PM=3+2=5，
∵tan∠DPC=

CD

PC

=

15

5

，
tan∠DAN=

DN

AN

=

2

5

，
∴

15

5

≠

2

5

，
∴∠CPD≠∠DAN，
∵∠CPD=NDP，
∴∠PDN≠∠DAN，
∵∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠ADN+∠NDP≠90°，
∴PD與AD不垂直．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．