Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C．記點P關于y軸的對稱點為P´（點P´不在y軸上），連接PP´，P´A，P´C．設點P的橫坐標為a．
 
（1）當b=3時，
①求直線AB的解析式；
②若點P′的坐標是（﹣1，m），求m的值；
（2）若點P在第一象限，記直線AB與P´C的交點為D．當P´D：DC=1：3時，求a的值；
（3）是否同時存在a，b，使△P´CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）①y=x+3②（2）（3）或解析:
解：（1）①設直線AB的解析式為y=kx+3，
把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，
∴k=，
∴直線的解析式是：y=x+3， ……3分 
②由已知得點P的坐標是（1，m），
∴m=×1+3=；  ……4分 
（2）∵PP′∥AC，
△PP′D∽△ACD，
∴=，即=，
∴a=；   ……6分 
（3）以下分三種情況討論．
①當點P在第一象限時，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）
過點P′作P′H⊥x軸于點H．

∴PP′=CH=AH=P′H=AC．
∴2a=（a+4）
∴a=
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB  
∴==，即=，
∴b=2                   ……8分 
2）若∠P′AC=90°，P′A=CA （如圖2）

則PP′=AC
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴==1，即=1
∴b=4          ……10分 
3）若∠P′CA=90°，
則點P′，P都在第一象限內，這與條件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．

②當點P在第二象限時，∠P′CA為鈍角（如圖3），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③當P在第三象限時，∠P′CA為鈍角（如圖4），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．
∴所有滿足條件的a，b的值為
或      ……12分 
（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）把（-1，m）代入函數解析式即可求得m的值；可以證明△PP′D∽△ACD，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（3）點P在第一像限，若使△P'CA為等腰直角三角則∠AP′C=90°或∠P′AC=90°或∠P′CA=90°就三種情況分別討論求出出所有滿足要求的a的值即可．