Question

如圖：在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上，頂點B（4，2）在拋物線y=ax²+bx上，且拋物線交x軸于另一點D（6，0），拋物線的對稱軸交BC邊于E，直線AE分別交y軸于F、交OB于P．
（1）求拋物線對應的二次函數解析式；
（2）若以點O為圓心，OP為半徑作⊙O，試判斷AE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）若動直線MN⊥x軸于N交拋物線于M，且在y軸的右側運動，是否存在點M使得△AMN與△ABP相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將B、D的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可確定該拋物線的解析式．
（2）由圖觀察，⊙O可能與直線AE相切，然后著手證明，分析圖形可知通過相似來證明OP⊥AE較簡單；由于O、D關于拋物線對稱軸對稱，即可確定該拋物線對稱軸方程，進而可得到CE、BE的長，根據B點坐標易求出AB、OA的長，通過證△ABE∽△OAB，可得到∠AEB=∠ABO，而∠ABE、∠BAE互余，那么∠BAE和∠ABP互余，由此可證得∠APB=90°即AE⊥OP，已知OP是⊙P的半徑，即可證得直線AE與⊙O相切．
（3）此題較復雜，應該分情況討論；首先易證得△ABP∽△BEP，即可得到BP、AP的比例關系為AP=2BP，若△AMN和△ABP相似，那么MN=2AN或AN=2MN，然后設出點N的坐標，進而可表示出點M的坐標；然后表示出MN、AN的表達式，根據①N在點A左側，②N在點A右側兩種情況下AN的不同表達式，以及上面所得AN、MN的等量關系，列方程求得M點的坐標．（注意：②中應該分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．）

解答：解：（1）由題意知：拋物線經過B（4，2），D（6，0），則有：

16a+4b=2 36a+6b=0

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

；
∴拋物線的解析式為：y=-

1

4

x2+

3

2

x．

（2）相切，理由如下：
∵O（0，0）、D（6，0），且O、D關于拋物線的對稱軸對稱，
∴該拋物線的對稱軸為：x=3；
故CE=3，BE=1；
又∵OA=4，AB=2，
∴

BE

AB

=

AB

OA

=2；
∵∠ABE=∠OAB=90°，
∴△ABE∽△OAB，
故∠AEB=∠OBA；
∵∠AEB=∠BAP=90°，則∠BAP+∠OBA=90°，
∴∠APB=90°，即AE⊥OP；
而OP為⊙O的直徑，故直線AE與⊙P相切．

（3）假設存在符合條件的M點，
設N（a，0），則M（a，-

1

4

a²+

3

2

a）；
由（2）知AE⊥OP，在Rt△ABP中，則有：
△BPE∽△APB，
故AP：PB=AB：BE=2：1，即AP=2PB；
若△AMN與△ABP相似，則AN=2MN或MN=2AN；
①當點N在A點左側時（0＜a＜4），AN=4-a，MN=-

1

4

a²+

3

2

a；
當AN=2MN時，4-a=2（-

1

4

a²+

3

2

a），解得：a=4+2

2

（舍去），a=4-2

2

；
當MN=2AN時，2（4-a）=-

1

4

a²+

3

2

a，解得：a=7+

17

（舍去），a=7-

17

；
故M（7-

17

，2

17

-6）或M（4-2

2

，

2

）；
②當點N在A點右側時；
1）當M在x軸上方時（4＜a＜6），AN=a-4，MN=-

1

4

a²+

3

2

a；
當AN=2MN時，a-4=2（-

1

4

a²+

3

2

a），解得：a=2-2

3

（舍去），a=2+2

3

；
當MN=2AN時，2（a-4）=-

1

4

a²+

3

2

a，解得：a=-1-

33

（舍去），a=-1+

33

；
故M（-1+

33

，2

33

-10）或M（2+2

3

，

3

-1）；
2）當M在x軸下方時（a＞6），AN=a-4，MN=

1

4

a²-

3

2

a；
當AN=2MN時，a-4=2（

1

4

a²-

3

2

a），解得：a=4-2

2

（舍去），a=4+2

2

；
當MN=2AN時，2（a-4）=

1

4

a²-

3

2

a，解得：a=7-

17

（舍去），a=7+

17

；
故M（4+2

2

，-

2

）或M（7+

7

，-2

17

-6）；
綜上所述，存在六個符合條件的M點，且它們的坐標為：
M1(7-

17

，2

17

-6)、M2(7+

17

，-2

17

-6)、M3(4-2

2

，

2

)、M4(4+2

2

，-

2

)、M5(-1+

33

，2

33

-10)、M₆（2+2

3

，

3

-1）．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到：矩形的性質、二次函數解析式的確定、切線的判定、相似三角形的判定和性質等重要知識點．（3）題中，由于相似三角形的對應邊和對應角以及M點的位置也不明確，一定要分類討論，以免漏解．